Українські рефератиучбові матеріали на українській мові

RefBaza.com.ua пропонує студентам та абітурієнтам найбільшу базу з рефератів! Також ви можете ділитися своїми рефератами для поповнення бази.

Методи рішення рівнянь у країнах древнього світу

Реферат: Методи рішення рівнянь у країнах древнього світу

Історія алгебри йде своїм корінням у часи. Завдання, пов'язані з рівняннями, вирішувалися ще Давньому Єгипті й Вавилоні. Теорія рівнянь цікавила і цікавить математиків всіх часів і народів.

У Давньому Єгипті й Вавилоні використовувався метод помилкового становища («фальфивое правило»)

Уравнение першого ступеня з однією невідомим мо жно привести завжди до виду ох + Ь == з, у якому а, Ь, з — цілі числа. За правилами арифметичних дейст вий ох = з — b,

Якщо Ь > з, те з — b число негативне. Отрицатель ные числа були єгиптянам тощо більш позд ним народам невідомі (рівноправно з положитель ными числами їх почали вживати у математиці толь до сімнадцятого столітті).

Аби вирішити завдань, які ми тепер вирішуємо урав нениями першого ступеня, було винайдено метод лож ного становища.

У папірусі Ахмеса 15 завдань вирішується цим методом. Рішення першої дозволяє зрозуміти, як розмірковував автор.

Єгиптяни мали особливий знак для позначення неиз вестного числа, який донедавна минулого читали «хау» і перекладали словом «купа» («купа» чи «неизве стное кількість» одиниць). Тепер читають трохи ме неї неточно: «ага».

bqt завдання № 24 збірника Ахмеса:

«Куча. Її сьома частина ('мається на увазі: «дають на сумі») 19. Знайти купу».

Запис завдання нашими знаками:

Рішення Ахмеса то, можливо представлено в символах у таких чотирьох шпальтах:

Багато завдання у початку або наприкінці зустрічаються слова: «Роби як робиться», інакше кажучи: «Роби, як роблять».

Сенс рішення Ахмеса легко зрозуміти.

Робиться припущення, що. купа є 7; тоді значна її частина є 1. Це у першому стовпці.

У другому стовпці записано, що з припущенні х=7 купа і його частина дозволили б 8 замість 19. Подвоєння припущення дає 16. Автор, про себе очевидно, прики дывает, що далі подвоювати припущення не можна, бо тоді вийде понад 19. Він записує 16, ставить перед числом дві точки для позначення удвое ния початкового припущення, і зазначає значком (ми — зірочкою) результат; щоб одержати у сумі 19 початкове припущення треба помножити -на 2 з певним додаванням, оскільки щоб одержати точ ного результату, 19, бракує ще 19—16=3. Ахмес знаходить від 8, отримує 4. Оскільки це вже нестачі 3, то, на припущення помножити не можна. Але від 8 є 2, від восьми 1. Ахмес бачить, що і первона чального результату дають точно ті 3 одиниці, яких немає вистачало. Відзначивши і значками, Ахмес переконався, що початкове припущення для купи (7) треба помножити на

Множення числа 7 на змішане число Ахмес заміняє множенням змішаного числа на майже 7. У третьому стовпці виписані: частина шуканої купи є , подвоєну їх кількість: і учетверенное: . Сума цих чисел, рівна числу , є твором початкового припущення 7 на .

Отже, купа дорівнює .

У цьому стовпці Ахмес робить перевірку, склади вая отримане значення для купи та її частини . Всього виходить 19, і рішення за канчивается звичайним для автора укладанням: «Буде добре».

Спосіб рішення, застосований Ахмесом, називається методом одного помилкового становища. З цього методу вирішуються рівняння виду ох == b. Його застосовували як єгиптяни, і вавілоняни.

У різних народів застосовувався метод двох лож ных положень. Арабами його був механи зирован і зрештою отримав ту форму, де він перейшов у підручники європейських народів, зокрема в «Арифме тику» Магницкого. Магницкий називає спосіб розв'язання «фальшивим правилом» і говорить про частини своєї книжки, излагающей його:

Зело бо хитра є ця частина,

Яко можеши нею все класти (обчислити. — І. Д.)

Не тільки що є в громадянство,

Але й вищих наук у просторі,

Яже належать до сфері неба,

Якоже мудрим є потреба.

Зміст віршів Магницкого можна коротенько пе редать так: цю частину арифметики дуже хитра. З допомогою яку можна обчислити як те, що понадо бится в життєвої практиці, але він вирішує й питання «вищі», які бувають перед «мудрими».

Магницкий користується «фальшивим правилом» у вигляді, яку йому додали араби, називаючи його «арифме тикой двох помилок» чи «методою терезів».

Квадратні рівняння у Давньому Вавилоні

Необхідність вирішувати рівняння як першої, а й вто рій ступеня ще давнини спричинило потребою виконувати завдання, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок та з земляними роботами військового характеру, ні з розвитком астрономії і найбільш математики. Квадратні рівняння вміли вирішувати близько 2000 років до зв. е. вавілоняни. Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і ті, наприклад, повні квадратні рівняння:

Правило розв'язання цих рівнянь, викладене в вавілонських текстах, збігається сутнісно із сучасним, проте невідомо, як дійшли вавілоняни доти правила. Майже всі знайдені досі клинописные тексти призводять тільки за дачі з рішеннями, що у вигляді рецептів, без вказівок на те, яким чином вони знайшли.

Попри високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, • в клинописних текстах відсутні поняття негативного числа і спільні на методи вирішення квадратних рівнянь.

. Як становив і вирішував Диофант квадратні рівняння ,

У «Арифметике» Диофанта немає систематичного викладу алгебри, однак у собі містить систематизований ряд за дач, супроводжуваних поясненнями і розв'язуваних з допомогою зі ставления рівнянь різних ступенів.

Під час упорядкування рівнянь Диофант спрощення рішення вміло вибирає невідомі.

Ось, приміром, одне з його завдань.

«Знайти два числа, знаючи, що й сума дорівнює 20, а твір — 96».

Диофант розмірковує так: з умови завдання випливає, що ці числа нерівні, бо коли б це вони були рівні, їх твір дорівнювало би 96, а 100. Таким про разом, одне з яких буде понад половина студентів суми, т. е. 10 + x, інше менше, т. е. 10 — x. Різниця з-поміж них 2х. Звідси рівняння

(1)


Схожі реферати

Статистика

[1] 2 3 4