Українські рефератиучбові матеріали на українській мові

RefBaza.com.ua пропонує студентам та абітурієнтам найбільшу базу з рефератів! Також ви можете ділитися своїми рефератами для поповнення бази.

Подвійний інтеграл в полярних координатах

Реферат: Подвійний інтеграл в полярних координатах

нехай у подвійному интеграле

(1)

при звичайних припущеннях хочемо можливість перейти до полярним координатам r і f, вважаючи

x = r cos j, y = r sin j. (2)

Область інтегрування P.S розіб'ємо на елементарні осередки DSi з допомогою координатних ліній r = ri (окружності) і j = ji (промені) (мал.1).

Введем позначення:

Drj = rj+1 - rj,

Dji = ji+1 - ji

Оскільки окружність перпендикулярна (ортогональна) радіусів, то внутрішні осередки DSi з точністю до нескінченно малих вищого порядку

дрібниці щодо їхньої площі можна як прямокутники з вимірами rjDji і Drj; тому площа кожній такій осередки дорівнюватиме:

DSi = rj Dji Drj (3)

Що ж до осередків DSij неправильної форми, прилеглих до кордону Р області інтегрування P.S, то ці осередки не вплинуть на значення подвійного інтеграла і ми їх будемо ігнорувати.

Як точки Mij $ Sij для простоти виберемо вершину осередки DSij з полярними координатами rj і ji. Тоді декартовые координати точки Mij рівні:

xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.

І отже,

f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')

Подвійний інтеграл (1) є межа двумерной інтегральної суми, причому можна показати, що у значення цієї краю не впливають добавки до доданком

інтегральної суми, є нескінченно малими вищого порядку дрібниці, тому враховуючи формули (3) і (3'), отримуємо:

(4)

де d - максимальний діаметр осередків DSij з сумою поширена все осередки вищезазначеного виду, повністю які у області P.S. З іншого боку, величини ji і rj суть числа і можна розглядати, як прямокутні декартовые координати деяких точок площині Ojr. Отже, сума (4) є інтегральної сумою для функції

f(r cosj, r sinj)r,

відповідна прямокутної сітці з лінійними елементами Dji і Dri. Отже

(5)

Порівнюючи формули (4) і (5), одержимо остаточно

(6)

Вислів

dS = r dj dr

називається двовимірним елементом площі полярних координатах. Отже, щоб у подвійному интеграле (1) можливість перейти до полярним координатам, досить координати x і y замінити по формулам (2), а замість елемента площі dS підставити вираз (7).

Для обчислення подвійного інтеграла (6) його треба замінити повторним. Нехай область інтегрування P.S визначається неравенствами

Де r1(j), r1(j) - однозначні безперервні функції на відрізку [a,b]. (рис 2).

Маємо

(8)

Де

F(r,j) = rf(r cosj, r sinj)

Приклад 1.

Переходячи до полярним координатам j і r, обчислити подвійний інтеграл

Де P.S - перша чверть кола радіуса R=1, з центром у точці О(0,0) (рис 3).

Оскільки

то застосовуючи формулу (6),

одержимо

Область P.S визначено

Неравенствами

Тому на згадуваній підставі формули (8) маємо

Приклад 2.

У интеграле

(9)

можливість перейти до полярним координатам.

Область інтегрування тут є трикутник P.S, обмежений прямими y=0, y=x, x=1 (рис 4).

У полярних координатах рівняння

цих прямих записуються

так: j=0,

j=p/4, r cosj=1 і,

отже, область P.S

визначається неравенствами

Звідси виходячи з формул

(6) и(8), враховуючи, що

маємо

Схожі реферати

Статистика

Реферат: Подвійний інтеграл в полярних координатах
Рубрика: Математика
Дата публікації: 2013-01-22 03:29:16
Прочитано: 26 раз