Українські рефератиучбові матеріали на українській мові

RefBaza.com.ua пропонує студентам та абітурієнтам найбільшу базу з рефератів! Також ви можете ділитися своїми рефератами для поповнення бази.

Граничні умови загального виду

Реферат: Граничні умови загального виду

План.

1. Сопряженный оператор.

2. Сопряженная однорідна завдання.

3. Умови разрешимости.

Сопряженный оператор.

Означимо через диференціальний оператор другого порядку, тобто.

(1)

де є безперервні функції між тим . Якщо і - двічі безупинно дифференцируемые на функції, тут маємо:

(2)

Як і попередньому параграфі, інтегрування співвідношення (2) частинами дає:

(3)

Означимо диференціальний оператор, входить у подынтегральное вираження у правій частині (3) через , тобто. (4)

У цьому співвідношення (3) перепишеться так:

(5)

Оператор називається сопряженным стосовно оператору . Умножая співвідношення (4) на і інтегруючи отриманого результату частинами, стосовно оператору . Отже, оператори і взаємно поєднані.

Як і попередньому параграфі, диференціальний рівняння:

(6)

називатимемо сопряженным диференціальному рівнянню:

(7)

Якщо ж , то оператор і диференціальний рівняння називатимемо сполученими. Порівнюючи висловлювання (1) і (5), доходимо висновку, що тоді й тільки, коли:

Отже, оператор будемо самосопряженным тоді й тільки тоді, коли .

У цьому:

Оскільки будь-яке диференціальний рівняння виду (7) можна перетворити на самосопряженную форму, помноживши на функцію .

Дифференцируя співвідношення (5) по , отримуємо так звану формулу Лагранжа:

(8)

Права частину цієї формули то, можливо записана як:

(9)

де

(10)

Зазначимо, що:

і отже, матриця -невырожденная. Подстановка висловлювання (9) в співвідношення (8) дає:

(11)

Сопряженная однорідна завдання.

Введем таке невырожденное лінійне перетворення в вектор :

(12),

де

Зауважимо, що зазначений перетворення може бути здійснене незліченним безліччю способів, залежно від вибору матриці А. При заданому ненулевом векторі два останніх рядки матриці А можна вибрати те щоб надати будь-які необхідні значення компонентами. Це зауваження використовують у подальшому під час перебування виду пов'язаних граничних умов. Оскільки , ми можемо звернути перетворення (12) й одержати:

.

У цьому (11) можна переписати як:

чи

(13),

де (14)

Билинейная форма у відсотковому співвідношенні (13) називається канонічним поданням билинейной форми у правій частині тотожності (11).

Щоб знайти граничні умови пов'язаною завдання, між іншим у відсотковому співвідношенні (13)

і й одержимо:

(15)

З формули (21) слід, що однорідні граничні умови, еквівалентні равенствам:

(16)

(17)

З урахуванням рівностей (16) і (17) співвідношення (15) набуває вигляду:

(18)

При ненулевом векторі останні два рядки матриці А може бути обрані те щоб компоненти і приймали будь-які необхідні значення, аби і не зверталися до нуль одночасно. Зокрема, нижні рядки матриці А можна вибрати з умови . У цьому з співвідношення (11) слід, що . Так, нижні рядки матриці А можна вибрати те щоб виконувалися рівності . У цьому з співвідношення (11) випливає, що . Отже, завдання, сполучена завданню (19)

має вигляд:

(20)

де і пов'язані з компонентами вектора співвідношенням (14). Краевая завдання (19) називається самосопряженной тоді й тільки тоді, коли і з двох компонент і є лінійної комбінацією і , тобто. пропорційна .


Схожі реферати

Статистика

[1] 2