Українські рефератиучбові матеріали на українській мові

RefBaza.com.ua пропонує студентам та абітурієнтам найбільшу базу з рефератів! Також ви можете ділитися своїми рефератами для поповнення бази.

Вычисление певних з дитинства інтегралів за правилом прямокутників

Реферат: Вычисление певних з дитинства інтегралів за правилом прямокутників

Зміст.

1. Запровадження. Постановка завдання…… …………………………2стр.

2. Висновок формулы……………………………………………….3стр.

3. Додатковий член у формулі прямоугольников……….5стр.

4. Приклади……………………………………………………… 7стр.

5. Укладання…………………………………………………… 9стр.

6. Список літератури………………………………………… .10стр.

Постановка завдання.

Завдання обчислення з дитинства інтегралів під багатьох областях прикладної математики. Найчастіше зустрічаються певні інтеграли від функцій, первообразные яких немає виражаються через елементарні функції. З іншого боку, в додатках має справу з певними інтегралами, самі подынтегральные функції є елементарними. Распространенными є також випадки, коли подынтегральная функція задається графіком чи таблицею експериментально отриманих значень. У цих ситуаціях використовують різні методи численногоинтегрирования, що базуються у тому, що інтеграл представляється як краю інтегральної суми (суми площ), й дозволяють визначити цю суму з прийнятною точністю. Нехай потрібно обчислити інтеграл за умови, що a і b кінцеві і f(x) є неперервним функцією по всьому інтервалі (a, b). Значення інтеграла I є площа, обмежену кривою f(x),осью x і прямими x=a, x=b. Вычисление I проводиться шляхом розбивки інтервалу від a до b силою-силенною менших інтервалів, наближеним перебуванням площі кожної смужки, получающейся в такому розбивці, і подальшому підсумовуванні площ цих смужок.

Висновок формули прямокутників.

Перш, ніж можливість перейти до формулі прямокутників, зробимо таке зауваження:

З а м е год а зв і е. Нехай функція f(x) безупинна на сегменті [a, b], а

- деякі точки сегмента [a, b]. Тоді у цьому сегменті знайдеться точка така, що середнє арифметичне .

У насправді, позначимо через m і M точні межі функції f(x) на сегменті [a, b]. Тоді нічого для будь-якого номери k справедливі нерівності . Просуммировав ці нерівності за всіма номерами і поділивши результат на n, одержимо

Оскільки безперервна функція приймає будь-яке проміжне значення, заключённое між m і M, то, на сегменті [a, b] знайдеться точка така, що

.

Перші формули для наближеного обчислення певних з дитинства інтегралів найпростіше виходять з геометричних міркувань. Истолковывая певний інтеграл як площа деякою постаті, обмеженою кривою , ми бачимо ставимо собі завдання про визначення цієї площі.

Насамперед, вдруге використовуючи цю думку, що до самому поняттю про певний интеграле, може бути розбитий всю постать (рис. 1) на смужки, скажімо, одному й тому ж ширини , та був кожну смужку наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята котрась із її ординат. Це призводить нас до формули

(1)

де , а R – додатковий член. Тут бажана площа криволінійної постаті замінюється площею деякою що з прямокутників східчастої постаті (чи – якщо хочете – певний інтеграл замінюється інтегральної сумою). Ця формула і називається формулою прямокутників.

(мал.1)

Насправді зазвичай беруть ; якщо відповідну середню ординату позначити через , то формула перепишеться як

.

Додатковий член у формулі прямокутників.

Перейдём до відшуканню додаткового члена у формулі прямокутників.

Справедливо таке твердження:

У тонн на е р ж буд е зв і е. Якщо функція f(x) тримає в сегменті [a, b] безперервну другу похідну, то, на цьому сегменті знайдеться така точка

, що додатковий член R у формулі (1) дорівнює

(2)

Доказ.

Оцінимо , вважаючи, що функція f(x) тримає в сегменті [-h, h] безперервну другу похідну І тому піддамо дворазовому інтегрування частинами кожен із наступних двох з дитинства інтегралів:

Для першого з цих з дитинства інтегралів одержимо

Для другого з з дитинства інтегралів аналогічно одержимо

Полусумма отриманих для і висловів призводить до такої формули:

(3)

Оцінимо величину , застосовуючи до интегралам і формулу середнього значення й враховуючи неотрицательность функцій і . Ми одержимо, що знайдуться точка на сегменті [-h, 0] і край на сегменті

[0 ,h] такі, що

З огляду на доведеного зауваження на сегменті [-h, h] знайдеться точка така, що

Тож полусуммы ми матимемо таке вираз:

Підставляючи цей вислів в рівність (3), одержимо, що

(4)

де

. (5)

Оскільки величина є площа деякого прямокутника з повним правом (мал.1), то формули (4) і (5) доводять, що помилка, чинена при заміні зазначеної площею, має порядок


Схожі реферати

Статистика

[1] 2 3