Українські рефератиучбові матеріали на українській мові

RefBaza.com.ua пропонує студентам та абітурієнтам найбільшу базу з рефератів! Також ви можете ділитися своїми рефератами для поповнення бази.

Вычисление координат центру ваги пласкою постаті

Реферат: Вычисление координат центру ваги пласкою постаті

1. Координати центру ваги.

Нехай на площині Oxy дана система матеріальних точок

P1(x1,y1); P2(x2,y2); . , Pn(xn,yn)

з масами m1,m2,m3, . . . , mn.

Твори ximi і yimi називаються статичними моментами маси mi щодо осей Oy і Ox.

Означимо через xc і yc координати центру ваги даної системи. Тоді координати центру ваги описаної матеріальної системи визначаються формулами:

Ці формули використовуються при знаходженні центрів тяжкості різних лідерів та тіл.

2. Центр тяжкості пласкою постаті.

Нехай дана постать, обмежена лініями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, є матеріальну пласку постать. Поверхностною щільність, тобто масу одиниці площі поверхні, вважатимемо постійної і рівної d всім частин постаті.

Разобьем цю постать прямими x=a, x=x1, . . . , x=xn=b на смужки ширини Dx1, Dx2, . . ., Dxn. Маса кожної смужки дорівнюватиме твору її площі на щільність d. Якщо кожну смужку замінити прямокутником (мал.1) з повним правом Dxi і заввишки f2(x)-f1(x), де x, то маса смужки буде наближено дорівнює

(і = 1, 2, . ,n).

Приближенно центр тяжкості цієї смужки перебуватиме у центрі відповідного прямокутника:

Замінюючи тепер кожну смужку матеріальної точкою, маса якої дорівнює масі відповідної смужки і зосереджена центрі тяжкості цієї смужки, знайдемо близьке значення центру ваги всієї постаті:

Переходячи до межі при , одержимо точні координати центру ваги даної постаті:

Ці формули справедливі для будь-який однорідної (тобто. має постійну щільність переважають у всіх точках) пласкою постаті. Як бачимо, координати центру ваги не залежить від щільності d постаті (у процесі обчислення d скоротилося).

3. Координати центру ваги пласкою постаті

У попередній главі вказувалося, що координати центру ваги системи матеріальних точок P1, P2, . . ., Pn з масами m1, m2, . . ., mn визначаються по формулам

.

У межі при інтегральні суми, які у числителях і знаменателях дробів, перейдуть у подвійні інтеграли, в такий спосіб виходять точні формули для обчислення координат центру ваги пласкою постаті:

(*)

Ці формули, виведені для пласкою то з поверхневою щільністю 1, залишаються й у постаті, має будь-яку іншу, постійну переважають у всіх точках щільність g.

Якщо ж поверхнева щільність переменна:

це були відповідні формули матимуть вид

Висловлювання

і

називаються статичними моментами пласкою постаті D щодо осей Oy і Ox.

Інтеграл висловлює величину маси аналізованої постаті.

4. Теоремы Гульдена.

Теорему 1.

Площа поверхні, отриманої під час обертання дуги пласкою кривою навколо осі, що у площині цієї кривою і котрий перетинає її, дорівнює довжині дуги кривою, помноженою на довжину окружності, описаної центром тяжкості дуги.

Теорему 2.

Обсяг тіла, отриманого під час обертання пласкою постаті навколо осі, не котрий перетинає її й що у площині постаті, дорівнює твору площі цієї фігури на довжину окружності, описаної центром тяжкості постаті.

II.Примеры.

1)

Умова: Знайти координати центру ваги півкола X2+Y2=a2, розташованої над віссю Ox.

Рішення: Определим абсциссу центру ваги: ,

Знайдемо тепер ординату центру ваги:

2)

Умова: Визначити координати центру ваги сегмента параболи y2=ax, отсекаемого прямий, х=а (рис. 2)

Рішення: У разі тому

(оскільки сегмент симетричний щодо осі Ox)

3)

Умова: Визначити координати центру ваги чверті еліпса (рис. 3)

вважаючи, що поверхнева щільність переважають у всіх точках дорівнює 1.

Рішення: По формулам (*) отримуємо:

4)

Умова:

Знайти координати центру ваги дуги ланцюгової лінії .

Рішення:

1Так як крива симетрична щодо осі Oy, що його центр тяжкості лежить осі Oy, тобто. Xc= 0. Залишається знайти . Маємо тоді довжина дуги

Отже,

5)

Умова:

Користуючись теоремою Гульдена знайти координати центру ваги чверті кола

.

Рішення:

При обертанні чверті кола навколо осі Ой одержимо полушар, обсяг якого дорівнює

Відповідно до другий теоремі Гульдена, Звідси Центр тяжкості чверті кола лежить на жіночих осі симетрії, тобто. на бісектрисі I координатного кута, тому

III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛІТЕРАТУРИ

1. Данко П.Е., Попов О.Г., Кожевникова Т.Я. «Вища математика в вправах та військово-політичні завдання», частина 2, «Вищу школу», Москва, 1999.

2. Піскунов М.С. «Дифференциальное і інтегральне обчислення для втузів», тому 2, «Наука», Москва, 1965


Схожі реферати

Статистика

Реферат: Вычисление координат центру ваги пласкою постаті
Рубрика: Математика
Дата публікації: 2013-01-22 03:25:30
Прочитано: 22 раз