Українські рефератиучбові матеріали на українській мові

RefBaza.com.ua пропонує студентам та абітурієнтам найбільшу базу з рефератів! Також ви можете ділитися своїми рефератами для поповнення бази.

Запровадження у фракталы

Реферат: Запровадження у фракталы

СОДЕРЖАНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………2

2. КЛАССИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ…………………………… 3

2.1. Самоподобие………………………………………………….3

2.2. Сніжинка Коха………………………………………………3

2.3. Килим Серпинского …………………………………………5

3. L-СИСТЕМЫ………………………………………………… 6

4. ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА………………………………10

4.1. Аттрактор Лоренца…………………………………………10

4.2. Сили-силенної Мандельброта і Жюлиа…………………… 11

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………… .13

6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………….14

1.ВВЕДЕНИЕ

Коли більшості людей здавалося, що геометрія у природі обмежується такими простими постатями, як лінія, коло, конічне перетин, багатокутник, сфера, квадратична поверхню, і навіть їх комбінаціями. Приміром, може бути гарніше твердження, що планети з нашого сонячної системі рухаються навколо сонця по эллиптическим орбітам?

Проте багато хто природні системи настільки складні, і нерегулярні, що використання лише знайомих об'єктів класичної геометрії їхнього моделювання представляється безнадійним. Як у прикладу, побудувати модель гірського хребта чи крони дерева в термінах геометрії? Як описати то розмаїття біологічних конфігурацій, яку ми спостерігаємо у світі рослин та тварин? Уявіть собі всю складність системи кровообігу, що з безлічі капілярів і судин і якою доставляється кров до кожної клітинці людського тіла. Уявіть, як хитромудро влаштовані легкі й нирки, схожі на структурою дерева з гіллястою кроною.

Так само складною і нерегулярною може бути динаміка реальних природних систем. Як підступитися до моделювання каскадних водоспадів чи турбулентных процесів, визначальних погоду?

Фракталы і математичний хаос --- підходящі кошти на дослідження поставлених питань. Термін фрактал належить до деякою статичної геометричній конфігурації, а саме миттєвий знімок водоспаду. Хаос --- термін динаміки, використовуваний для описи явищ, подібних турбулентному поведінці погоди. Нерідко те, що ми бачимо у природі, інтригує нас нескінченним повторенням однієї й тієї ж візерунка, збільшеного чи зменшеного скільки завгодно раз. Наприклад, у дерева є галузі. Цими гілках є гілки менша і т.д. Теоретично, елемент «розгалуження» повторюється нескінченно багаторазово, стаючи дедалі менше. Це ж можна побачити, роздивляючись фотографію гірського рельєфу. Спробуйте хоч трохи наблизити зображення гірського пасма --- знову побачите гори. Так проявляється притаманне фракталів властивість самоподоби.

Багато працях з фракталам самоподобие використовують у ролі визначального властивості. Дотримуючись Бенуа Мадельброту, ми приймаємо думку, за якою фракталы мають визначатися в термінах фрактальной (дробової) розмірності. Звідси й походження слова фрактал (від латів. fractus --- дробовий).

Поняття дробової розмірності є складну концепцію, яка викладається на кілька етапів. Пряма --- це одновимірний об'єкт, а площину --- двомірний. Якщо гарненько перекрутивши пряму і площину, можна підвищити розмірність отриманої конфігурації; у своїй нова розмірність зазвичай буде дробової у сенсі, який доведеться уточнити. Зв'язок дробової розмірності і самоподоби у тому, що з допомогою самоподоби можна сконструювати безліч дробової розмірності найпростішим чином. Навіть щодо набагато складніших фракталів, як-от кордон безлічі Мандельброта, коли чисте самоподобие відсутня, є майже повне повторення базової форми в дедалі більш і більше зменшеному вигляді.

Багато чудові властивості фракталів хаосу відкриваються щодо итерированных відбиття. У цьому починають із деякою функції y = f(x) і розглядають поведінка послідовності f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), . У комплексної площині роботи що така походять, очевидно, до імені Кэли, який досліджував метод Ньютона перебування кореня стосовно комплексним, Не тільки до речовинним, функцій (1879). Замечательного прогресу до вивчення итерированных комплексних відбиття домоглися Гастон Жюлиа і П'єр Фату (1919). Природно, було зроблено без допомоги комп'ютерної графіки. Нині, багато хто вже бачили барвисті постери із зображенням множин Жюлиа і багатьох Мандельброта, тісно із нею пов'язаного. Освоєння математичної теорії хаосу природно розпочати саме з итерированных відбиття.

Вивчення фракталів хаосу відкриває чудові можливості, як і дослідженні безлічі додатків, і у області чистої математики. Але водночас, як і часто трапляється за так званої нової математиці, відкриття спираються на піонерські роботи великих математиків минулого. Сер Ісаак Ньютон розумів це, кажучи: «Якщо й знову бачив найдалі, лише оскільки стояв обов'язок гігантів».

2.КЛАСИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ

2.1. Самоподобие.

Разделим відрізок прямий на N рівних частин. Тоді кожну частина вважатимуться копією всього відрізка, зменшеного в 1/r раз. Вочевидь, N і r пов'язані ставленням Nr = 1 Якщо квадрат розбити на N рівних квадратів (з майданом, в 1/r2 разів менша площі вихідного), то співвідношення запишеться як Nr2 = 1. Відповідно, загальна формула співвідношення запишеться як:

Nrd = 1. (2.1)

Сила-силенна, побудовані вище, мають цілої размерностью. Постає запитання, можливо таке побудова, у якому показник d у рівності (2.1) НЕ є цілим, тобто таку, що з розбивці вихідного безлічі на N непересічних підмножин, отриманих масштабированием оригіналу з коефіцієнтом r, значення d нічого очікувати виражатися цілим числом. Відповідь --- рішуче так! Таке безліч називається самоподобным фракталом. Значимість d називають фрактальной (дробової) размерностью чи размерностью подоби. Явна вираз для d через N і r перебуває логарифмированием обох частин (2.1):

logN

d = --------- (2.2)

log 1/r

Логарифм можна взяти на будь-якій підставі, що відрізняється від одиниці, приміром з підставі 10 чи з підставі е ~ 2,7183.

2.2. Сніжинка Коха.

Кордон сніжинки, придуманою Гельгом фон Кохом в 1904 року (рис.2.2.1), описується кривою, складеної із трьох однакових фракталів розмірності d ~ 1,2618. Кожна третину сніжинки будується итеративно, починаючи з однією з сторін рівностороннього трикутника. Нехай Ко --- початковий відрізок. Візьмемо з колоди середню третина школярів й додамо дві нові відрізка той самий довжини, як показано на рис. 2.2.2. Назвемо отримане безліч K1 . Повторимо згаданої процедури багаторазово, кожному кроці замінюючи середню третину двома новими відрізками. Означимо через Kn постать, отриману після n-го кроку.

Інтуїтивно ясно, що послідовність кривих Kn при n яка прагне до нескінченності сходиться до деякою граничною кривою До. Розглянемо деякі властивості цієї кривою.

Якщо взяти копію До, зменшену втричі (r = 1/3), Те все безліч До можна скласти з N = 4 таких копій. Отже, ставлення самоподоби (2.1) виконується при зазначених N і r, а розмірність фрактала буде:

d = log(4)/log(3) ~ 1,2618

Рис 2.2.1. Сніжинка Коха.

Ще одна важлива властивість, який має кордон сніжинки Коха --- її нескінченна довжина. Це може бути дивовижним, тому що ми звикли поводитися з кривими з курсу математичного аналізу. Зазвичай гладкі чи навіть кусочно-гладкие криві мають кінцеву довжину (у яких можна переконатися інтегруванням). Мандельброт у зв'язку опублікував ряд захоплюючих робіт, у яких досліджується питання вимірі довжини берегової лінії Великобританії. Як моделі він

Рис. 2.2.2. Побудова сніжинки Коха.

використовував фрактальную криву, нагадує кордон сніжинки те винятком, що до неї запроваджено елемент випадковості, враховує випадковість у природі. З'ясувалося, що крива, яка описувала берегову лінію, має нескінченну довжину.


Схожі реферати

Статистика

[1] 2 3