Українські рефератиучбові матеріали на українській мові

RefBaza.com.ua пропонує студентам та абітурієнтам найбільшу базу з рефератів! Також ви можете ділитися своїми рефератами для поповнення бази.

Алгоритм компактного збереження і рішення СЛАУ високого порядку

Реферат: Алгоритм компактного збереження і рішення СЛАУ високого порядку

ЗАПРОВАДЖЕННЯ.

Метод кінцевих елементів є численным методом для диференційних рівнянь, можна зустріти у фізиці [1]. Виникнення цього пов'язані з рішенням завдань космічних досліджень (1950 р.). Вперше він опублікований роботі Тернера, Клужа, Мартіна і Топпа. Ця робота сприяла появі інших робіт; було опубліковано ряд статей з застосуваннями методу кінцевих елементів до завдань будівельної механіки і механіки суцільних середовищ. Важливий внесок у теоретичну розробку методу зробив у 1963 р. Мелош, який довів, що метод кінцевих елементів можна як одне із варіантів добре відомого методу Рэлея-Ритца. У будівельній механіці метод кінцевих елементів мінімізацією потенційної енергії дозволяє звести завдання до системи лінійних рівнянь рівноваги [2,3].

Однією з труднощів, які виникають за чисельної реалізації рішення контактних завдань теорії пружності методом кінцевих елементів (МКЭ), є рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАУ) великого порядку виду

Більшість існуючих методів вирішення цих систем розроблено у припущенні те, що матриця A має стрічкову структуру, причому ширина стрічки , де n2 - порядок. Проте, під час використання МКЭ для чисельного рішення контактних завдань можливі випадки, коли ширина стрічки [5].

1 ОБЗОР МЕТОДОВ РІШЕННЯ СЛАУ, ВОЗНИКАЮЩИХ У МКЭ

Основна ідея методу кінцевих елементів у тому, що будь-яку безперервну величину, таку, як температура, тиск переміщення, можна апроксимувати дискретної моделлю, побудована на безлічі кусочно-непрерывных функцій, певних на кінцевому числі подобластей. Кусочно-непрерывные функції визначаються з допомогою значень безупинної величини у кінцевому числі точок аналізованої області [1,2,3].

У випадку безперервна величина заздалегідь невідома і треба визначити значення цієї величини у деяких внутрішніх точках області. Дискретную модель, проте, дуже просто побудувати, якщо спочатку припустити, що числові значення цієї величини у кожному внутрішньої точці області відомі. Після цього можна можливість перейти до загальному випадку. Отже, при побудові конкретної моделі безупинної величини надходять так:

1. У області фіксується кінцеве число точок. Ці точки називаються вузловими точками чи навіть вузлами.

2. Значення безупинної величини у кожному вузловий точці вважається перемінної, що має бути визначено.

3. Область визначення безупинної величини розбивається на кінцеве число подобластей, званих елементами. Ці елементи мають загальні вузлові крапки й разом аппроксимируют форму області.

4 .Непрерывная величина апроксимируется кожному елементі функцією, що визначається з допомогою вузлових значень цієї величини. До кожного елемента визначається своя функція, але функції підбираються в такий спосіб, щоб зберігалася безперервність величини уздовж кордонів елемента.

Аби вирішити СЛАУ в МКЭ потрібно вибрати метод рішення. Остаточне рішення про про застосування итерационных або отримання прямих методів рішення СЛАУ необхідно ухвалити з урахуванням аналізу структури досліджуваної математичної завдання. Прямі на методи вирішення СЛАУ вигідніше використовувати, якщо потрібно вирішувати багато однакових систем з різними правими частинами, або якщо матриця А є положительно-определенной. З іншого боку, існують завдання з такою структурою матриці, на яку прямі методи завжди краще, ніж итерационные.

1.1 Точні на методи вирішення СЛАУ

Розглянемо ряд точних методів рішення СЛАУ [4,5].

Рішення систем n-линейных рівнянні з n-неизвестными по формулам Крамера.

Нехай дана система лінійних рівнянь, у якій кількість рівнянь одно числу невідомих:

Припустимо, що визначник системи d не нульовий. Якщо тепер замінити послідовний у определителе стовпчики коефіцієнтів при невідомих хj стовпцем вільних членів bj, то вийдуть відповідно n визначників d1, .,dn.

Теорему Крамера. Система n лінійних рівнянь з n невідомими, визначник якої різниться від нуля, завжди совместна і має єдине рішення, вычисляемое по формулам:

x1=d1/d; x2=d2/d; ; xn-1=dn-1/d; xn=dn/d;

Рішення довільних систем лінійних рівнянь.

Нехай

довільна система лінійних рівнянь, де число рівнянь системи не одно числу n невідомих. Припустимо, що систему (3) совместна і rmin{m,n}, тоді матрицях Проте й А знайдуться r лінійно незалежних рядків, інші ж m-r рядків виявляться їх лінійними комбінаціями. Перестановкой рівнянь можна домогтися, що це r лінійно незалежних рядків займуть перші r місць.

Звідси випливає, що будь-який з усіх m - r рівнянь системи (3) можна подати як суму перших r рівнянь (які називаються лінійно незалежними чи засадничими), узятих з декотрими коефіцієнтами. Тоді система еквівалентна наступній системі r рівнянь з n невідомими

Припустимо, що мінор r-го порядку, складений із коефіцієнтів за першого r невідомих, різниться від нуля Мr 0, т. е. є базисним мінором. І тут невідомі, коефіцієнти у яких становлять базисний мінор, називаються засадничими невідомими, інші ж n - r - вільними невідомими.

У кожному з рівнянь системи (4) перенесемо в праву частина усіх членів зі вільними невідомими xr+1, ., xn. Тоді одержимо систему, що містить r рівнянь з r засадничими невідомими. Оскільки визначник цією системою є базисний мінор Mr то система має єдине вирішення питань щодо базисних невідомих, що можна знайти по формулам Крамера. Даючи вільним невідомим довільні числові значення, одержимо рішення вихідної системи.

Однородная система лінійних рівнянь.

Нехай дана однорідна система лінійних рівнянь n невідомими

Оскільки додавання шпальти з нулів не змінює рангу матриці системи, то, на підставі теореми Кронекера - Kaneлли цю систему завжди совместна і має, по крайнього заходу, нульовий рішення. Якщо визначник системи (5) різниться від нуля і кількість рівнянь системи одно числу невідомих, то теоремі Крамера нульовий рішення єдиний.

У разі, коли ранг матриці системи (5) менше ніж невідомих, т. е. r (А)< n, дана система крім нульового рішення матиме і ненульові рішення. Для перебування цих рішень на системі (5) виділяємо r лінійно незалежних рівнянь, інші відкидаємо. У виділених рівняннях у частині залишаємо r базисних невідомих, інші ж n - r вільних невідомих переносимо в праву частина. Тоді дійшли системі, вирішуючи яку по формулам Крамера, висловимо r базисних невідомих x1, ., хr через n - r вільних невідомих.

Система (5) має незліченну кількість рішень. Серед цього безлічі має рішення, лінійно незалежні між собою.

Фундаментальною системою рішень називаються n - r лінійно незалежних рішень однорідної системи рівнянь.

Метод головних елементів.

Нехай дана система n лінійних рівнянь з n невідомими

розширена матриця системи (6) . Выберем ненульовий найбільший по модулю і приналежний стовпцю вільних членів елемент apq матриці , що називається головним елементом, і обчислимо множники mi=-aiq/apq всім рядків з номерами іp (р - я рядок, що містить головні елементи, називається головною рядком).


Схожі реферати

Статистика

[1] 2 3 4 5 6 7