Українські рефератиучбові матеріали на українській мові

RefBaza.com.ua пропонує студентам та абітурієнтам найбільшу базу з рефератів! Також ви можете ділитися своїми рефератами для поповнення бази.

Власні значення

Реферат: Власні значення

1. ЗАПРОВАДЖЕННЯ

Багато інженерних завдань зводиться до розгляду систем рівнянь, мають єдине рішення лише тому випадку, якщо відомо значення деякого входить у них параметра. Цей особливий параметр називається характеристичним, чи соб ственным, значенням системи. З завданнями за власні значе ния інженер зіштовхується у різних ситуаціях. Так, для тензорів напруг власні значення визначають головні нормальні напруги, а власними векторами задаються напрями, пов'язані з тими значеннями. При динамічному аналізі механічних систем власні значення соответст вуют власним частотах коливань, а власні вектори характеризують моди цих коливань. При розрахунку конструкцій власні значення дозволяють визначати критичні на грузки, перевищення яких призводить до втрати стійкості.

Вибір найефективнішого методу визначення собствен ных значень чи власних векторів для даної інженерного завдання залежить від низки чинників, як-от тип рівнянь, число шуканих власних значень та його характер. Алгоритми вирішення завдань за власні значення діляться на дві групи. Итерационные методи дуже зручні і добре пристосовані визначення найменшого і найбільшого власних значень. Методи перетворень подоби кілька складніша, зате дозволяють визначити все власні значення й власні вектори.

У цьому роботі розглядатимуться найпоширеніші на методи вирішення завдань за власні значення. Проте спочатку наведемо деякі, основні дані з теорії матричного і векторного числень, у яких базуються методи опреде ления власних значень.

2. ДЕЯКІ ОСНОВНІ ДАНІ, НЕОБХОДИМЫЕ ПРИ ВИРІШЕННІ ЗАДАЧ НА ВЛАСНІ ЗНАЧЕНИЯ

Загалом вигляді завдання за власні значення формулюється так:

AX = lX,

де A — матриця розмірності n x n. Потрібна знайти n скаляр ных значень l і власні вектори X, відповідні кожному власними значень.

Основні визначення матричного обчислення

1. Матриця A називається симетричній, якщо

аij = аij, де і, j = 1, 2, . . ., n.

Звідси випливає симетрія щодо діагоналі

аkk, де k == 1, 2, . . ., n.

Матриця

1

4

5

4

3

7

5

7

2

є взірцем симетричній.

2. Матриця A називається трехдиагональной, якби її елементи, крім елементів головною метою та прилеглих до неї диа гоналей, рівні нулю. У випадку трехдиагональная матри ца має вигляд

                 

*

*

         

0

 

*

*

*

           
 

*

*

*

         
 

.

.

.

.

.

.

   
         

*

*

*

 
 

0

       

*

*

*

             

*

*

Важливість трехдиагональной форми зумовлена тим, деякі методи перетворень подоби дозволяють привести довільну матрицю до цього приватному виду.

3. Матриця A називається ортогональної, якщо

АТА = Є,

де Ат—транспонированная матриця A, а Е—единичная матриця. Вочевидь, матриця, зворотна ортогональної, эквива лентна транспонованої.

4. Матриці Проте й У називаються подібними, якщо є така несингулярная матриця Р, що справедливе співвідношення

У = Р-1АР.

Основні властивості власних значень.

1. Усі п власних значень симетричній матриці раз мірності пХп, що з дійсних чисел, действи тільні. Це пам'ятати, оскільки матриці, які в інженерних розрахунках, часто бувають симетричними.

2. Якщо власні значення матриці різні, що його соб ственные вектори ортогональны. Сукупність п лінійно неза висимых власних векторів утворює базис рассматривае мого простору. Отже, для сукупності лінійно незалежних власних векторів

Xі, де і == 1,. . ., n,

будь-який довільний вектор у тому просторі можна выра зить через власні вектори. Отже,

n

Y = P.SaiXi.

i=1

3. Якщо дві матриці подібні, їх власні значення сов падають. З подоби матриць A і У слід, що

У = Р-1АР.

Оскільки

АХ = lХ,

то

Р-1АХ = lР-1Х.

Якщо прийняти це Х == РY, то

Р-1АРY = lY,

а

УY == lY.

Отже, матриці A і Не мають однакові власні значення, а й їхні власні вектори пов'язані соот носінням

Х = Р Y.

4. Помноживши власний вектор матриці на скаляр, одержимо власний вектор тієї ж матриці. Зазвичай, усе власні вектори нормують, розділивши кожен елемент власного вектора або з його найбільший елемент, або у сумі квадра тов від інших елементів.


Схожі реферати

Статистика

[1] 2 3 4 5 6 7 8