Українські рефератиучбові матеріали на українській мові

RefBaza.com.ua пропонує студентам та абітурієнтам найбільшу базу з рефератів! Також ви можете ділитися своїми рефератами для поповнення бази.

Алгебра

Реферат: Алгебра

“Алгебра не що інше, як математичний мову, пристосований для позначення відносин між кількостями”.

І. Ньютон

Алгебра – частина математики, що вивчає загальні властивості дій над різними ве масками і рішення рівнянь, пов'язаних із цими діями.

Вирішимо завдання: “Возрасты трьох братів 30, 20 і шість років. Через років вік старшого дорівнюватиме сумі вікових груп обох молодий ших братів?” Окресливши дані число років за x, складемо рівняння: 30 + x = (20+х) + (6 + x) звідки x = 4. Близький до описаний ному метод вирішення завдань був відомий ще у II тисячолітті е. переписувачам Давнього Єгипту (але вони не застосовували буквеної символіки). У збережених донині математичних папірусах є як завдання, що призводять до рівнянням перекл виття ступеня з однією невідомим, як і заду чого про віці братів, а й завдання, наводячи щие до рівнянням виду ах2 = b.

Ще складніші завдання вміли вирішувати безпосередньо з початку II тисячоліття е. у Давньому Вавилоні; в математичних текстах, выпол ненных клинописом на глиняних платівках, є квадратні і биквадратные рівняння, системи рівнянь з цими двома невідомими і навіть найпростіші кубічні рівняння. У цьому вавілоняни теж використовували літер, а наводили рішення “типових” завдань, у тому числі рішення аналогічних завдань підлозі чались заміною числових даних. У числової формі наводилися й деякі правила тотожних перетворень. Якщо за рішенні рівняння треба було видобувати квадратний корінь у складі а чи не що є точним квадратом, знаходили близьке значення кореня x: ділили але в x і брали середнє арифметичне чисел x і а/х.

Перші загальні твердження про тотожних перетвореннях зустрічаються у давньогрецьких математиків, починаючи з VI в. е. Серед математиків Стародавню Грецію було винесено висловлювати все алгебраїчні затвердження в геометричній формі. Замість складання чисел наголошували на додаванні відрізків, твір двох чисел витлумачували як площа прямокутника, а твір трьох чисел–как обсяг прямокутного паралелепіпеда. Алгебраические формули приймали вид співвідношень між площами та обсягами. Наприклад, казали, що площа квадрата, побудованого на сумі двох відрізків, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих цих відтинках, збільшеною на подвоєну площа прямокутника, побудованого цих відтинках. З тогочасна і йдуть терміни “квадрат числа” (т. е. твір величини найбільш себе), “куб числа”, “середнє геометричне”. Геометрическую форму прийняло у греків та рішення квадратних рівнянь - вони шукали боку прямокутника по заданим периметру й площі.

Більшість завдань вирішувалося Стародавню Грецію шляхом побудов циркулем і лінійкою. Не завдання піддавалися такого рішення. Наприклад, “не вирішувалися” завдання подвоєння куба, трисекции кута, завдання побудови правильного семиугольника. Вони призводили до кубічним рівнянням виду х3 = 2, 4х3 - Зх = чи х3 + х2 - 2х - 1 = 0 відповідно. Для рішень з завдань розробили новий метод, пов'язані з відшуканням точок перетину конічних перетинів (еліпса, параболи і гіперболи).

Геометрический підхід до алгебраїчним проблемам сковував розвиток науки, оскільки, наприклад, не міг складати величини різних розмірностей (довжини й Бессарабської площі або частині площі та обсяги), не можна говорити про більш як трьох множників тощо. Відмова від геометричній трактування намітився у Диофанта Олександрійського, жив III в. У своїй книжці “Арифметика” з'являються зачатки буквеної символіки і спеціальні позначення для ступенів невідомого до 6-ї. Були і позначення для ступенів негативним показниками, позначення для негативних чисел, і навіть знак рівності (особливого знака для складання не було), коротка запис правил множення позитивних і негативних чисел. На розвиток алгебри сильний вплив надали розібрані Диофантом завдання, що призводять до найскладніших системам алгебраїчних рівнянь, зокрема до систем, де число рівнянь було менше ніж невідомих. Для таких рівнянь Диофант шукав лише позитивні раціональні рішення.

З VI в. центр математичних досліджень переміщається до Індії та Китаю, країни Близького Сходу, і Середню Азію. Китайські вчені розробили метод послідовного винятку невідомих на вирішення систем лінійних рівнянь, дали нові методи наближеного рішення рівнянь вищих ступенів. Індійські математики використовували негативні числа і вдосконалили буквен ную символіку. Однак тільки працях учених Близького Сходу, і Середню Азію ав гебра оформилася на самостійну гілка математики, трактующую питання, пов'язані з рішенням рівнянь. У ІХ ст. узбецький мало тематик і астроном Мухаммед ал-Хорезми написав трактат “Китаб аль-джебр валь-мукабала”, де дав загальні правила на вирішення рівнянь першого ступеня. Слово,,алъ-джебр" (відновлення), від якої нова наука алгебра отримала свою назву, означало перенесення негативних членів рівняння з однієї його частину до іншої зі зміною знака. Вчені Сходу вивчали і рішення кубічних рівнянь, хоча зуміли отримати загальної формули їхнього коренів.

У Західної Європи вивчення алгебри почалося XIII в. Однією з великих математиків цього був італієць Леонардо Пизанский (Фібоначчі) (прибл. 1170 – після 1228). Його “Книжка абака” (1202) – трактат, який містив відомостей про арифметиці і алгебрі до квадратних рівнянь включно (див. Числа Фібоначчі). Першим великим саме стоятельным досягненням западноевропей ских учених було відкриття XVI в. формули на вирішення кубічного рівняння. Це давало б ло заслугою італійських алгебраистов З. Дель Ферро, М. Тарталья і Дж. Кардано. Учень останнього – Л. Феррарі вирішив і рівняння 4-го ступеня. Вивчення окремих питань, що з корінням кубічних рівнянь, привело італійського алгебраиста Р. Бомбелли до від крытию комплексних чисел.

Відсутність зручною і добре розвиненою символіки сковувало розвиток алгебри: найскладніші формули приходь лось викладати у словесній формі. Наприкінці XVI в. французький математик Ф. Виет ввів літерні позначення як для не відомих, але й довільних по стоянных. Символіка Виета була усовершен ствована багатьма вченими. Остаточний вид їй додав на початку XVII в. французький філософ і математик Р. Декарт, запровадивши (вжиті і нині) позначення для показників ступенів.

Поступово розширювався запас чисел, з до торыми можна було виконувати дії. Завоевывали права громадянства отрица тільні числа, потім – комплексні, вчені стали вільно застосовувати ірраціональні числа. У цьому виявилося, що, попри таке розширення запасу чисел, раніше встановлені правила алгебраїчних перетворень зберігають чинність. Нако нец, Декарту вдалося звільнити алгебру від невластивою їй геометричній форми. Усе це дозволило розглядати питання ре шения рівнянь у найзагальнішому вигляді, примі нять рівняння до вирішення геометричних за дач. Наприклад, завдання про знаходженні точки перетину двох ліній звелася до вирішення системи рівнянь, яким задовольняли точки цих ліній. Такий метод рішення гео метричних завдань отримав назву аналити ческой геометрії.

Розвиток буквеної символіки дозволило встановити загальні затвердження, що стосуються алгебраїчних рівнянь: теорему Безу про де лимости багаточлена Р (x) на двочлен x - чи а – коріння цієї багаточлена; співвідношення Виета між корінням рівняння та її коэф фициентами; правила, дозволяють оціни вать число дійсних коренів рівняння; загальні методи винятку невідомих з сі стем рівнянь тощо.

Особливо було просунуте в XVIII в. рішення систем лінійних уравне ний – їм отримано формули, позво ляющие висловити рішення через коэффи циенты і вільні члени. Подальше изу чение таких систем рівнянь створило теорії матриць і визначників. Наприкінці XVIII в. було доведено, що будь-який алгебраїчне рівняння з комплексними коефіцієнтами має хоча б тільки кому плексный корінь. Це твердження носить звання основний теореми алгебри.


Схожі реферати

Статистика

[1] 2