Українські рефератиучбові матеріали на українській мові

RefBaza.com.ua пропонує студентам та абітурієнтам найбільшу базу з рефератів! Також ви можете ділитися своїми рефератами для поповнення бази.

Аксиоматический метод. Логічне будова геометрії

Реферат: Аксиоматический метод. Логічне будова геометрії

Аксиоматический метод виник Стародавню Грецію, і тепер застосовують у всіх теоретичних науках, насамперед у математиці.

Аксиоматический метод побудови наукової теорії ось у чому : виділяються засадничі поняття, формулюються аксіоми теорії, проте інші затвердження виводяться логічним шляхом, спираючись ними.

Основні поняття виділяються так. Відомо, що сама поняття має роз'яснятися з допомогою інших, які, своєю чергою, теж визначаються з допомогою якихось відомих понять. Отже, ми дійшли елементарним поняттям, які можна визначити через інші. Ці поняття і називаються основними.

Коли ми доводимо твердження, теорему, то спираємося на передумови, які вважають вже доведеними. Але це передумови теж доказывались, треба було обгрунтувати. Зрештою, ми дійшли недоказываемым твердженням і приймаємо їх без докази. Їх твердження називаються аксіомами. Набір аксіом повинна бути такою, щоб, спираючись нею, можна було довести подальші затвердження.

Виділивши засадничі поняття і сформулювавши аксимы, далі ми виводимо теореми й поняття логічним шляхом. У цьому полягає логічне будова геометрії. Аксіоми й освоєно основні поняття становлять підстави планіметрії.

Оскільки не можна дати єдине визначення основних понять всім геометрий, то засадничі поняття геометрії слід з'ясувати, як об'єкти будь-який природи, задовольняють аксіомам цієї геометрії. Отже, при аксіоматичному побудові геометричній системи ми виходимо з деякою системи аксіом, чи аксіоматики. У цих аксіомах описуються властивості основних понять геометричній системи, і ми можемо уявити засадничі поняття як об'єктів будь-який природи, які мають властивостями, зазначеними в аксіомах.

Після формулювання й докази перших геометричних тверджень стає можливим доводити одні затвердження (теореми) з допомогою інших. Докази багатьох теорем приписують Піфагору і Демокриту.

Гиппократу Хиосскому приписується складання першого систематичного курсу геометрії, заснованого на визначеннях і аксіомах. Цей курс та її наступні обробки називалися "Елементи".

Потім, в III в. е., у м.Олександрії з'явилася книга Евкліда з тим самим назвою, у російському перекладі "Почала". Від латинської назви "Почав" стався термін "елементарна геометрія". Попри те що, що твори попередників Евкліда до нас потребу не дійшли, ми можемо скласти деяке думка про ці творах по "Началам" Евкліда. У "Началах" є розділи, логічно дуже мало пов'язані коїться з іншими розділами. Поява їх пояснюється лише, що їх внесено традиційно і копіюють "Почала" попередників Евкліда.

"Почала" Евкліда складаються з 13 книжок. 1 - 6 книжки присвячені планіметрії, 7 - 10 книжки - про арифметиці і несоизмеримых величинах, які можна побудувати з допомогою циркуля і лінійки. Книги з 11 по 13 були присвячені стереометрії.

"Почала" розпочинаються з викладу 23 визначень і десяти аксіом. Перші п'ять аксіом - "загальні поняття", інші називаються "постулатами". Перші дві постулату визначають дії з допомогою ідеальної лінійки, третій - з допомогою ідеального циркуля. Четверте, "все прямі кути рівні між собою", є зайвим, оскільки може бути вивести ринок із інших аксіом. Останній, п'ятий

постулат був такий : "Якщо пряма вихоплює дві прямі і утворить внутрішні односторонні кути у сумі менше двох прямих, то, при необмеженому продовженні цих двох прямих, вони перетнуться з протилежного боку, де кути менше двох прямих".

П'ять "загальних понять" Евкліда є принципами виміру довжин, кутів, площ, обсягів : "рівні одному й тому рівні між собою", "якщо рівним додати рівні, суми рівні між собою", "якщо від рівних забрати рівні, залишки рівні між собою", "совмещающиеся друг з одним рівні між собою", "ціле більше частини".

Далі почалася критика геометрії Евкліда. Критикували Евкліда за трьома причин : через те, що вона розглядала лише геометричні величини, які можна побудувати з допомогою циркуля і лінійки; через те, що він розривав геометрію і арифметику і доводив для цілих чисел те, що довів для геометричних величин, і, нарешті, за аксіоми Евкліда. Найсильніше критикували п'ятий постулат, найскладніший постулат Евкліда. Багато хто розцінював його зайвим, що його можна й потрібно вивести ринок із інших аксіом. Решта були впевнені, що його треба замінити простішим і наочним, рівносильним йому : "Через точку поза прямий можна навести у тому площині трохи більше одній прямій, не котрий перетинає цю пряму".

Критика розриву між геометрією і арифметикою призвела до розширенню поняття числа до дійсного числа. Суперечки про п'ятому постулаті призвели до того, що спочатку ХІХ століття М. І. Лобачевський, Я. Бойяи і Ко. Ф. Гаусс побудували нову геометрію, у якій виконувалися все аксіоми геометрії Евкліда, крім п'ятого постулату. Він був замінили протилежним твердженням : "У площині через точку поза прямий можна навести більше прямий, не котрий перетинає цю". Ця геометрія була ж несуперечливої, як і геометрія Евкліда.

Модель планіметрії Лобачевського на евклідовій площині було побудовано французьким математиком Анрі Пуанкаре в 1882 р.

На евклідовій площині проведемо горизонтальну пряму (див. малюнок 1). Ця пряма називається абсолютом (x). Крапки евклідовій площині, що лежать вище абсолюту, є точками площині Лобачевського. Плоскостью Лобачевського називається відкрита полуплоскость, що вище абсолюту. Неевклидовы відтинки в моделі Пуанкаре - це дуги окружностей з центром на абсолюті чи відтинки прямих, перпендикулярних абсолюту (AB, CD). Постать на площині Лобачевського - постать відкритої напівплощини, лежачої вище абсолюту (F). Неевклидово рух є композицією кінцевого числа інверсій з центром на абсолюті і осьових симетрій, осі яких перпендикулярні абсолюту. Два неевклидовых відрізка рівні, якщо з них неевклидовым рухом можна перекласти на інший. Такі засадничі поняття аксіоматики планіметрії Лобачевського.

Усі аксіоми планіметрії Лобачевського несуперечливі. Визначення прямий таке : "Неевклидова пряма - це півколо з кінцями на абсолюті чи промінь з початком на абсолюті і перпендикулярний абсолюту". Отже, твердження аксіоми паралельності Лобачевського виконується як для деякою прямий a і точки A, не лежачої в цій прямий, але й будь-який прямий a і будь-яка не лежачої у ньому точки A (див. малюнок 2).

За геометрією Лобачевського народилися й інші несуперечливі геометрії : від евклідовій відокремилася проективна геометрія, склалася багатовимірна евклидова геометрія, виникла риманова геометрія (загальна теорія просторів з довільним законом виміру довжин) та інших. З науки про постатях у одному тривимірному евклідовому просторі геометрія за 40 - 50 років перетворилася на сукупність різноманітних теорій, лише чимось подібних зі своїми прародичкою - геометрією Евкліда.


Схожі реферати

Статистика

Реферат: Аксиоматический метод. Логічне будова геометрії
Рубрика: Математика
Дата публікації: 2013-01-22 03:03:03
Прочитано: 19 раз